我很贊同“數(shù)學是關(guān)于模型的科學”，并且以為教學生學數(shù)學最主要的任務(wù)就是學習如何建構(gòu)模型、運用模型。如何實踐呢？這里用2007年在臨潼觀察的一節(jié)小學數(shù)學課為例。

這是一節(jié)五年級的數(shù)學課，教學內(nèi)容是《相遇》。教學活動主要包括：

一、讓一個學生在教室里走路，目的在于引出路程、時間、速度和“路程＝時間×速度”的關(guān)系。對于相關(guān)數(shù)據(jù)，老師提的是學生每分鐘走50米，在教室里面走了10分鐘，問這位同學在教室里走了多少米，答案是500米。（課后，我和老師議課討論這個活動是否有必要。我認為，一方面，四年級學生已經(jīng)學過一輛車運動的時間、速度、路程，可以說，關(guān)于時間、路程、速度有什么樣的關(guān)系，學生早就學過了，熟悉了，用不著在這里化這么多時間和精力，可以簡單提問回憶就可以達到現(xiàn)有目的。另一方面，走的時間不過幾十秒，教室里面又哪來500米？這些數(shù)據(jù)反而可能讓學生對時間和路程的多少、長短估計產(chǎn)生錯誤印象）

二、老師板書“相距，相對，相遇，同時”，要求兩位同學表演，第一次，兩位同學先后同向行走；第二次，老師將兩位同學拉在黑板兩頭，讓她們相向、同時走動，走在一起時，老師說，這就是相遇。（課后議課，我和授課老師討論，怎樣避免第一次“不同時”和“同向”的浪費，以及第二次表演時老師的強力介入？是否可以要求學生把四個詞同時表演出來，讓學生先想一想該怎么設(shè)計這次表演）

三、老師用多媒體出示教材中的問題，圖和文字的大概意思是“張叔叔和王阿姨有一個材料要交換，張叔叔住天橋，王阿姨住遺址公園，兩個人同時駕車，張叔叔車速每小時50公里，王阿姨每小時30公里。問題一：他們可能在什么地方相遇？問題二：他們之間的路程是160公里，出發(fā)以后多小時他們相遇？”第一個問題在課本中，“遺址公園”和“天橋”間有兩個點：“郭莊”距“遺址公園”大約四分之一總路程處，“李村”距“遺址公園”大約三分之一總路程處。對這個問題，學生幾乎異口同聲：“李村”。（課后我和老師就這一教學環(huán)節(jié)討論：教材中設(shè)置“問題一”的目的是什么？討論的結(jié)果是要讓學生意識到，由于速度不同，相向同時出發(fā)的兩個人相遇的地點不會是在路程的中點。當我們認可這樣的目的，那就需要在路程的中點設(shè)置一個點來干擾和促進學生思考；沒有這樣一個點，學生就沒有機會對這個問題進行分辨�，F(xiàn)在，教材上沒有這個點，老師該怎么辦？我認為老師可以在幻燈片上標注出這樣的點，比如“趙莊”。這就是新課程提倡的，教師根據(jù)實際教學需要，積極主動地參與課程建設(shè)和開發(fā)）

四、老師安排幾個簡單的相遇問題的課堂練習以后，布置了這樣的題目：“植樹節(jié)時，五年級同學在驪山植樹，第一組每小時栽10棵松樹，第二組每小時栽20棵松樹，第三組每小時栽30棵柏樹，他們共需栽松樹60棵，幾小時可以栽完？下面的哪一種算法正確：A：60÷（10+20+30）。B：60÷（10+20）。C：解：設(shè)x小時可以栽完，列方程：10x+20x=60。”這個題目的處理顯得很倉促。

應(yīng)該說這是一節(jié)很不錯的課，但從體現(xiàn)數(shù)學的本質(zhì)，讓學生在數(shù)學課堂上收獲更多數(shù)學的東西還可以做些什么呢？

《數(shù)學課程標準》指出：“數(shù)學是人們對客觀世界定性把握和定量刻畫、逐漸抽象概括、形成方法和理論，并進行廣泛應(yīng)用的過程。數(shù)學作為一種普遍適用的技術(shù)，有助于人們收集、整理、描述信息，建立數(shù)學模型，進而解決問題，直接為社會創(chuàng)造價值。”“義務(wù)教育階段的數(shù)學課程，要讓學生親身經(jīng)歷將實際問題抽象成數(shù)學模型并進行解釋與應(yīng)用的過程，進而使學生獲得對數(shù)學理解的同時，在思維能力、情感態(tài)度與價值觀等多方面得到進步和發(fā)展。”可以說，抽象概括是數(shù)學方法的核心，學習建構(gòu)數(shù)學模型并進行解釋應(yīng)用是數(shù)學教學的基本要求和特征。具體到這一節(jié)課，可以怎么抽象概括？應(yīng)該建構(gòu)怎樣的數(shù)學模型？從這一目標出發(fā)，還可以引起以下討論：

首先，是否可以對兩個同學的活動和表演進行抽象？要進行數(shù)學抽象是因為我們不能為活動而活動，或者使活動表面化，而是充分挖掘其中的數(shù)學意義和價值。比如在同學表演以后，不是讓她們下去讓這個活動到此結(jié)束，而是讓她們站在黑板前，對應(yīng)在黑板上打點，標明兩者位置，標示兩者間的距離（路程），再讓她們相向運動，在她們相向運動過程，在黑板上標示她們的運動方向，標示她們相遇的位置。這里的抽象是將兩個學生的活動抽象成圖形，在黑板上畫出來，將生活中的真實運動抽象成圖像運動。

其次，是否應(yīng)該完成從圖像、圖形運動到符號關(guān)系的抽象？從“同時”中抽象出“運動時間相等”，從而理解同時出發(fā)到相遇，彼此所用時間是一樣的，這樣才能夠在方程計算方法中找到相同的量，并設(shè)定同一個未知數(shù)。把這種認識進一步拓展，它可以讓學生意識到在一個方程或方程組中，同一個未知數(shù)不僅應(yīng)該意義一樣，數(shù)量也應(yīng)該一樣。同時還要從“相遇”的圖像化表達中，抽象出“兩者行進的路程等于總路程”的關(guān)系，從而建構(gòu)“總路程＝時間×（甲速度＋乙速度）”的數(shù)學模型。

第三，為什么可以把行程相遇問題應(yīng)用到解決工程問題（比如植樹）？是否應(yīng)該再進一步尋找其中相似的數(shù)量關(guān)系，從中抽象出更有拓展性和普遍意義的數(shù)學模型？比如，“相遇”意味著彼此完成共同任務(wù)，“總路程”就可以向“任務(wù)總量”拓展，“同時出發(fā)”意味著“同時開工”工作，彼此不同的“運動速度”可以拓展為不同參與者的“工作效率”。這樣，“總路程＝時間×（甲速度＋乙速度）”的數(shù)學模型被抽象拓展成了“總?cè)蝿?wù)＝工作時間×（甲工作效率＋乙工作效率＋……）”的數(shù)學模型。當然，這次拓展最好建立在“總路程＝時間×（甲速度＋乙速度）”的熟練應(yīng)用后，再提出工程問題讓同學們觀察、發(fā)現(xiàn)，在老師的引導完成模型建構(gòu)。要在這里強調(diào)彼此所用時間是一樣的，就必須強調(diào)“同時”，對照老師的拓展題目，“同時工作”的強調(diào)就顯得更加必要了。

這樣，本節(jié)課的數(shù)學抽象包括從生活問題到數(shù)學圖像的抽象，從數(shù)學圖像到數(shù)學符號的抽象，從行程問題向工程問題的抽象，并建構(gòu)了解決生活問題的兩個基本數(shù)學模型。