模型思想之——數學建模思想在小學數學教學中如何滲透

發(fā)布者：cj_jyk   發(fā)布時間：2017-04-05 09:58:05   點擊數:

數學建模思想在小學數學教學中如何滲透

在《數學課程標準》我們發(fā)現這樣一句話——“讓學生親身經歷將實際問題抽象成數學模型并進行解釋與應用的過程，進而使學生獲得對數學理解的同時，在思維能力、情感態(tài)度與價值觀等多方面得到進步和發(fā)展。”,這實際上就是要求把學生學習數學知識的過程當做建立數學模型的過程,并在建模過程中培養(yǎng)學生的數學應用意識,引導學生自覺地用數學的方法去分析、解決生活中的問題。明確要求教師在教學中引導學生建立數學模型，不但要重視其結果，更要關注學生自主建立數學模型的過程，讓學生在進行探究性學習的過程中科學地、合理地、有效地建立數學模型。

一、數學模型的概念

數學模型是對某種事物系統(tǒng)的特征或數量依存關系概括或近似表述的數學結構。數學中的各種概念、公式和理論都是由現實世界的原型抽象出來的,從這個意義上講,所有的數學知識都是刻畫現實世界的模型。狹義地理解,數學模型指那些反映了特定問題或特定具體事物系統(tǒng)的數學關系結構,是相應系統(tǒng)中各變量及其相互關系的數學表達。數學建模就是建立數學模型來解決問題的方法。《數學課程標準》安排了“數與代數”“空間與圖形”“統(tǒng)計與概率”“實踐與綜合應用”四塊學習領域,強調學生的數學活動,發(fā)展學生的數感、符號感、空間觀念、以及應用意識與推理的能力。這些內容中最重要的部分,就是數學模型。在小學階段,數學模型的表現形式為一系列的概念系統(tǒng),算法系統(tǒng),關系、定律、公理系統(tǒng)等。

二、小學數學教學滲透數學建模思想的可行性

數學模型不僅為數學表達和交流提供有效途徑，也為解決現實問題提供重要工具，可以幫助學生準確、清晰地認識、理解數學的意義。在小學數學教學活動中，教師應采取有效措施，加強數學建模思想的滲透，提高學生的學習興趣，培養(yǎng)學生用數學意識以及分析和解決實際問題的能力。數學在本質上就是在不斷的抽象、概括、模式化的過程中發(fā)展和豐富起來的。數學學習只有深入到“模型”、“建模”的意義上，才是一種真正的數學學習。這種“深入”，就小學數學教學而言，更多地是指用數學建模的思想和精神來指導著數學教學，“從學生已有的生活經驗出發(fā)，讓學生親身經歷將實際問題抽象成數學模型并進行解釋與運用的過程，進而使學生獲得對數學的理解的同時，在思維能力、情感態(tài)度與價值觀等多方面得到進入和發(fā)展。”

對數學建模這個概念來講也許是新的，但回想我們的日常教學不難發(fā)現我們的學生已經有數學建模的思想或意識，只不過沒有從理論的角度把它概括出來而已。例如，在以往教學求比一個數多幾的應用題時，經常碰到這樣一個例題“小明家養(yǎng)了6只公雞，養(yǎng)的母雞只數比公雞多3 只，母雞有幾只？”在教學此例時老師們都是采用讓學生擺、說等教學活動來幫助學生分析數量關系，理解“同樣多的部分”，但教學效果并沒有我們老師想象的那么好，一般同學們在解釋數量關系式6+3=9時，母雞和公雞是不分的，極大部分學生都會說6只公雞加3只母雞等于9只母雞。為什么學生不會用“同樣多的部分”去描述母雞的只數，其原因是十分明顯的，那就是學生在操作時頭腦中已經對現實問題進行簡化，并建立了一個有關母雞只數求法的數學模型，這個模型顯然是一種疊加模型，即6+3=9（只），而6表示什么在模型中已經是無關緊要，因為實際問題最終要解決的是數量問題。從以上這個教學實例至少可以說明兩點；其一，小學生在解決實際問題時有他自己的數學模型，有他自圓其說的解讀數學模型的方法，因此，小學生也有數學建模能力。其二，當學生的數學模型一旦建立了以后，即使他的模型是不合理或不規(guī)范的，但外人很難改變他的模型結構。

三、小學生如何形成自己的數學建模

一、創(chuàng)設情境，感知數學建模思想。

數學來源于生活，又服務于生活，因此，要將現實生活中發(fā)生的與數學學習有關的素材及時引入課堂，要將教材上的內容通過生活中熟悉的事例，以情境的方式在課堂上展示給學生，描述數學問題產生的背景。情景的創(chuàng)設要與社會生活實際、時代熱點問題、自然、社會文化等與數學問題有關的各種因素相結合，讓學生感到真實、新奇、有趣、可操作，滿足學生好奇好動的心理要求。這樣很容易激發(fā)學生的興趣，并在學生的頭腦中激活已有的生活經驗，也容易使學生用積累的經驗來感受其中隱含的數學問題，從而促使學生將生活問題抽象成數學問題，感知數學模型的存在。

如教學平均數一課，新課伊始出示兩個小組一分鐘做題道數：

第一組      9     8     9     6

第二組      7     10   9     8

教師提問：哪組獲勝，為什么？

這時出示，第一組請假的一位同學后來加入比賽。

第一組      9     8     9     6     8

第二組      7     10   9     8    

師：根據比賽成績我們判定一組獲勝。

此時有學生提出異議：雖然第一組做對的總道數比第二組多，但是兩個隊的人數不同，這樣比較不公平。

師：那怎么辦呢？

生：可以用平均數進行比較。

師：什么是平均數？

學生根據自己的生活經驗進行總結。

本節(jié)課平均數這一抽象的知識隱藏在具體的問題情境中，學生在兩次評判中解讀、整理數據，產生思維沖突，從而推進數學思考的有序進行。學生從具體的問題情境中抽出平均數這一數學問題的過程就是一次建模的過程，

二、參與探究，主動建構數學模型

數學家華羅庚通過多年的學習、研究經歷總結出：對書本中的某些原理、定律、公式，我們在學習的時候不僅應該記住它的結論、懂得它的道理，而且還應該設想一下人家是怎樣想出來的，怎樣一步一步提煉出來的。只有經歷這樣的探索過程，數學的思想、方法才能沉積、凝聚，從而使知識具有更大的智慧價值。動手實踐、自主探索與合作交流是學生學習數學的重要方式。學生的數學學習活動應當是一個主動、活潑的、生動和富有個性的過程。因此，在教學時我們要善于引導學生自主探索、合作交流，對學習過程、學習材料、學習發(fā)現主動歸納、提升，力求建構出人人都能理解的數學模型。

如教學圓錐的體積一課：

1、回顧、猜想：

師：請同學們回憶我們在學習圓柱的體積推導過程中，應用了哪些數學思想方法？

生：運用了轉化的方法。

師：猜一猜圓錐的體積能否轉化成已經學過的圖形的體積？它會與學過的哪種立體圖形有關？

學生大膽進行猜想，有的猜能轉化成圓柱、有的猜能轉化成長、正方體。

2、動手驗證

師：請同學們利用手中的學具進行操作，研究圓錐體積的計算方法。

教師給學生提供多個圓柱、長方體、正方體和圓錐空盒（其中圓柱和圓錐有等底等高關系的、有不等底不等高關系的，圓錐與其他形體沒有等底或等高關系）、沙子等學具，學生分小組動手實驗。

3、反饋交流

生1：我們選取了一個圓錐和一個正方體進行實驗，將正方體中倒?jié)M沙子，然后倒入圓錐容器中，到了四次，還剩下一些，發(fā)現圓錐體與這個圓柱體之間沒有關系。

生2：我們組選取的是圓錐和圓柱，這個圓錐與這個圓柱之間也沒存在關系，然后我們換了一個圓柱，這個圓柱的體積是這個圓錐體積的三倍。

4、歸納總結。

師：那么存在3倍關系的圓柱和圓錐的底面有什么關系?它們的高又有什么關系?

生3：底面積相等，高也相等。

師：圓柱的體積和同它等底等高圓錐的體積的有什么關系?

生：圓柱的體積是圓錐體積的3倍。

生：圓錐的體積是同它等底等高的圓柱體權的1/3。

師：是不是所有的等底等高的圓柱、圓錐都存在這樣的關系？請每個組都選出這樣的學具進行操作驗證。

生：匯報后師板書:

圓錐的體積等于同它等底等高的圓柱體積的1/3。

師：如果沒有圓柱這一輔助工具，我們怎樣計算圓錐的體積？

生：圓錐的體積等于底面積乘高乘1/3。

在上述教學過程中，教師提供豐富的實驗材料，學生需要從中挑選出解決問題必須的材料進行研究。學生的問題不是一步到位的，通過不斷地猜測、驗證、修訂實驗方案，再猜測、再驗證這樣的過程，逐步過渡到復雜的、更一般的情景，學生在主動探索嘗試過程中，進行了再創(chuàng)造學習，以抽象概括方式自主總結出圓錐體積計算公式。這一環(huán)節(jié)的設計，不僅發(fā)展了學生的策略性知識，同時讓學生經歷猜測與驗證、分析與歸納、抽象與概括的數學思維過程。學習過程中學生有時獨立思考，有時小組合作學習，有時是獨立探索和合作學習相結合，學生在新知探索中充分體驗了數學模型的形成過程。

三、解決問題，拓展應用數學模型

用所建立的數學模型來解答生活實際中的問題，讓學生能體會到數學模型的實際應用價值，體驗到所學知識的用途和益處，進一步培養(yǎng)學生應用數學的意識和綜合應用數學知識解決問題的能力，讓學生體驗實際應用帶來的快樂。解決問題具體表現在兩個方面：一是布置數學題作業(yè)，如基本題、變式題、拓展題等；二是生活題作業(yè)，讓學生在實際生活中應用數學。通過應用真正讓數學走入生活，讓數學走近學生。用數學知識去解決實際問題的同時拓展數學問題，培養(yǎng)學生的數學意識，提高學生的數學認知水平，又可以促進學生的探索意識、發(fā)現問題意識、創(chuàng)新意識和實踐意識的形成，使學生在實際應用過程中認識新問題，同化新知識，并構建自己的智力系統(tǒng)。

如在學生掌握了速度、時間、路程之間關系后，先進行單項練習，然后出示這樣的變式題：

1、汽車4小時行駛了240千米，12小時可行駛多少千米？

2、火車的速度是每小時130千米，火車早上8：00出發(fā)，14：00到站，兩站之間的距離是多少千米？

學生在掌握了速度乘時間等于路程這一模型后，進行變式練習，學生基本能正確解答，說明學生對基本數學模型已經掌握，并能夠從4小時行駛了240千米中找到需要的速度，從8：00至14：00中找到所需時間。雖然兩題敘述不同，但都可以運用同一個數學模型進行解答。掌握了數學模型，學生解答起數學問題來得心應手。

又如學習了圓的周長后設計這樣的題目：怎樣利用你的自行車測量學校到家里的實際距離。

這一問題的設計既考慮與學生生活的真實情景相結合，又能引起學生的猜測、估計、操作、觀察、思考等具體的學習活動，并能使學生在具體的學習活動中學會搜集資料、分析問題。在解決實際問題中，學生需要搜集大量的信息，并從信息中剔除無用信息，留下有用信息，構建起數學模型，并運用數學模型進行計算、解決問題。在這一過程中，學生易于形成實事求是的態(tài)度以及進行質疑和獨立思考的習慣，激發(fā)學生的創(chuàng)新精神。因此，我們在教學過程中，應注重學生建模思想的形成與運用。

綜上所述，小學數學建模思想的形成過程是一個綜合性的過程，是數學能力和其他各種能力協(xié)同發(fā)展的過程。在數學教學過程中進行數學建模思想的滲透，不僅可以使學生體會到數學并非只是一門抽象的學科，而且可以使學生感覺到利用數學建模的思想結合數學方法解決實際問題的妙處，進而對數學產生更大的興趣。通過建模教學，可以加深學生對數學知識和方法的理解和掌握，調整學生的知識結構，深化知識層次。同時，培養(yǎng)學生應用數學的意識和自主、合作、探索、創(chuàng)新的精神，為學生的終身學習、可持續(xù)發(fā)展奠定基礎。因此在數學課堂教學中，教師應逐步培養(yǎng)學生數學建模的思想、方法，形成學生良好的思維習慣和用數學的能力。